Modelos multinivel no lineales de efectos mixtos

Por: Houssein Assaad, Estadístico Senior y Desarrollador de Software.

Este es una traducción realizada por MultiON Consulting de la publicación original de StataCorp.

Tienes un modelo que no es lineal en los parámetros. Tal vez sea un modelo del crecimiento de los árboles y, por tanto, es asintótico a un valor máximo. Tal vez es un modelo de concentraciones séricas de un medicamento que aumenta rápidamente a una concentración máxima y luego decae exponencialmente. Bastante fácil, se usa una regresión no lineal ([R] nl) para ajustar el modelo. Pero… ¿qué pasa si se tienen medidas repetidas para cada árbol o niveles de suero sanguíneo repetidos para cada paciente? Es posible que usted desee explicar la correlación intra árbol o paciente.

El comando menl introducido en Stata 15, ajusta modelos de efectos mixtos no lineales (NLME). Los modelos no lineales clásicos asumen que hay una observación por sujeto y que los sujetos son independientes. Se puede pensar en los modelos NLME como una extensión los modelos no lineales para el caso donde se pueden tomar múltiples medidas sobre un sujeto y estas observaciones intra sujeto están correlacionadas. Asimismo se puede pensar en los modelos NLME como una generalización de los modelos lineales de efectos mixtos donde algunos o todos los efectos aleatorios ingresan al modelo de una forma no lineal. Independientemente de la forma de verlos, los modelos NLME se usan para describir una variable respuesta como una función (no lineal) de las covariables, explicándose la correlación entre observaciones del mismo sujeto.

En este blog, los conduciré a través distintos ejemplos de modelos no lineales de efectos mixtos que se ajustan usando menl. Primero ajustaré un modelo no lineal a los datos sobre el crecimiento de los árboles, ignorando la correlación entre las mediciones del mismo árbol. Luego, demostraré distintas maneras de explicar esta correlación y cómo incorporar efectos aleatorios en los parámetros del modelo para dar a los parámetros la interpretación especifica del árbol.

Tenemos datos (Draper y Smith 1998) sobre la circunferencia del tronco de cinco naranjos diferentes donde se midió la circunferencia del tronco (en mm) en siete ocasiones diferentes, durante un periodo de crecimiento de aproximadamente cuatro años. Queremos modelar el crecimiento de los naranjos. Primero, vamos a graficar los datos.

      . webuse orange
      . twoway scatter circumf age, connect(L) ylabel(#6)
    

Hay algo de variación en las curvas de crecimiento, pero se observa la misma forma general para todos los árboles. En particular, el crecimiento tiende a nivelarse hacia el final. Pinheiro y Bates (2000) sugieren el siguiente modelo de crecimiento no lineal para estos datos:

$${\mathsf{circumf}}_{ij}=\frac{\phi_{1}}{1+\exp\left\{ -\left( {\mathsf{age}}_{ij}-\phi_{2}\right)/\phi_{3}\right\}} + \epsilon_{ij}, \quad j=1,\dots,5; i=1,\dots,7$$

Los parámetros de los modelos NLME a menudo tienen interpretaciones científicamente significativas y forman la base de las preguntas de investigación. En este modelo, $\phi_{1}$ es la circunferencia asintótica promedio de los árboles mientras $\mathsf{age}_{ij} \to \infty$, $\phi_{2}$ es la edad promedio a la cual el árbol alcanza la mitad de la circunferencia asintótica $\phi_{1}$ (vida media), y $\phi_{3}$ es un parámetro de escala.

Por ahora, vamos a ignorar las repercusiones (estimaciones menos precisas de la incertidumbre en las estimaciones de los parámetros, pruebas de hipótesis menos potentes, y estimaciones de intervalos menos precisas) de no tener en cuenta la correlación y la posible heterogeneidad entre las observaciones. En su lugar, trataremos todas las observaciones como i.i.d. Podemos usar nl para ajustar el modelo anterior, pero aquí usaremos menl(A partir del 15.1, menl ya no requiere que se incluyan los efectos aleatorios en la especificación del modelo.)

      . menl circumf = {phi1}/(1+exp(-(age-{phi2})/{phi3})), stddeviations

      Obtaining starting values:

      NLS algorithm:

      Iteration 0:   residual SS =  17480.234
      Iteration 1:   residual SS =  17480.234

      Computing standard errors:

      Mixed-effects ML nonlinear regression           Number of obs     =         35
      Log Likelihood = -158.39871
      ------------------------------------------------------------------------------
      circumf |      Coef.   Std. Err.      z    P>|z|     [95% Conf. Interval]
      -------------+----------------------------------------------------------------
      /phi1 |   192.6876   20.24411     9.52   0.000     153.0099    232.3653
      /phi2 |   728.7564   107.2984     6.79   0.000     518.4555    939.0573
      /phi3 |   353.5337   81.47184     4.34   0.000     193.8518    513.2156
      ------------------------------------------------------------------------------

      ------------------------------------------------------------------------------
      Random-effects Parameters  |   Estimate   Std. Err.     [95% Conf. Interval]
      -----------------------------+------------------------------------------------
      sd(Residual) |   22.34805   2.671102      17.68079    28.24734
      ------------------------------------------------------------------------------
    

La opción stddeviations indica a menl que reporte la desviación estándar del término de error en lugar de la varianza. Debido a que una curva de crecimiento se usa para todos los árboles, las diferencias individuales como se muestran en el gráfico anterior se incorporan en los residuales, inflando así la desviación estándar de los residuales.

Tenemos múltiples observaciones del mismo árbol que probablemente estén correlacionadas. Una forma de explicar la dependencia entre observaciones dentro del mismo árbol es incluir un efecto aleatorio, $u_j$, compartido por todas las observaciones dentro del $j$-ésimo árbol. Por lo tanto, nuestro modelo se convierte

$$\mathsf{circumf}_{ij}=\frac{\phi_{1}}{1+\exp\left\{ -\left( \mathsf{age}_{ij}-\phi_{2}\right)/\phi_{3}\right\}} + u_j + \epsilon_{ij}, \quad j=1,\dots,5; i=1,\dots,7$$

Este modelo puede ajustarse escribiendo

      . menl circumf = {phi1}/(1+exp(-(age-{phi2})/{phi3}))+{U[tree]}, stddev

      Obtaining starting values by EM:

      Alternating PNLS/LME algorithm:

      Iteration 1:    linearization log likelihood = -147.631786
      Iteration 2:    linearization log likelihood = -147.631786

      Computing standard errors:

      Mixed-effects ML nonlinear regression           Number of obs     =         35
      Group variable: tree                            Number of groups  =          5

      Obs per group:
      min =          7
      avg =        7.0
      max =          7
      Linearization log likelihood = -147.63179
      ------------------------------------------------------------------------------
      circumf |      Coef.   Std. Err.      z    P>|z|     [95% Conf. Interval]
      -------------+----------------------------------------------------------------
      /phi1 |   192.2526   17.06127    11.27   0.000     158.8131    225.6921
      /phi2 |   729.3642   68.05493    10.72   0.000      595.979    862.7494
      /phi3 |    352.405   58.25042     6.05   0.000     238.2363    466.5738
      ------------------------------------------------------------------------------

      ------------------------------------------------------------------------------
      Random-effects Parameters  |   Estimate   Std. Err.     [95% Conf. Interval]
      -----------------------------+------------------------------------------------
      tree: Identity               |
      sd(U) |   17.65093   6.065958      8.999985    34.61732
      -----------------------------+------------------------------------------------
      sd(Residual) |    13.7099    1.76994      10.64497    17.65728
      ------------------------------------------------------------------------------
    

Las estimaciones de efectos fijos son similares en ambos modelos, pero sus errores estándar son más pequeños en el modelo anterior. La desviación estándar residual también es menor porque algunas de las diferencias individuales ahora se explican por el efecto aleatorio. Sean $y_{sj}$ and $y_{tj}$ dos observaciones del $j$j-ésimo árbol. La inclusión del efecto aleatorio $u_j$ implica que la ${\rm Cov}(y_{sj},y_{tj}) > 0$ (de hecho, es igual a ${\rm Var}(u_j)$). Por lo tanto, $u_j$ induce una correlación positiva sobre dos observaciones cualesquiera dentro del mismo árbol.

Hay otra forma de explicar la correlación entre observaciones dentro de un grupo. Puedes modelar la estructura de la covarianza residual explícitamente usando opción rescovariance() de menl. Por ejemplo, el modelo no lineal de intercepto aleatorio anterior es equivalente a un modelo marginal no lineal con una matriz de covarianzas intercambiable. Técnicamente, los dos modelos son equivalentes sólo cuando la correlación de las observaciones dentro del grupo es positiva.

      . menl circumf = {phi1}/(1+exp(-(age-{phi2})/{phi3})),
      rescovariance(exchangeable, group(tree)) stddev

      Obtaining starting values:

      Alternating GNLS/ML algorithm:

      Iteration 1:    log likelihood = -147.632441
      Iteration 2:    log likelihood = -147.631786
      Iteration 3:    log likelihood = -147.631786
      Iteration 4:    log likelihood = -147.631786

      Computing standard errors:

      Mixed-effects ML nonlinear regression           Number of obs     =         35
      Group variable: tree                            Number of groups  =          5

      Obs per group:
      min =          7
      avg =        7.0
      max =          7
      Log Likelihood = -147.63179
      ------------------------------------------------------------------------------
      circumf |      Coef.   Std. Err.      z    P>|z|     [95% Conf. Interval]
      -------------+----------------------------------------------------------------
      /phi1 |   192.2526   17.06127    11.27   0.000     158.8131    225.6921
      /phi2 |   729.3642   68.05493    10.72   0.000      595.979    862.7494
      /phi3 |    352.405   58.25042     6.05   0.000     238.2363    466.5738
      ------------------------------------------------------------------------------

      ------------------------------------------------------------------------------
      Random-effects Parameters  |   Estimate   Std. Err.     [95% Conf. Interval]
      -----------------------------+------------------------------------------------
      Residual: Exchangeable       |
      sd |   22.34987    4.87771      14.57155    34.28026
      corr |   .6237137   .1741451      .1707327    .8590478
      ------------------------------------------------------------------------------
    

La proporción de efectos fijos de la salida es idéntica en ambos modelos. Estos dos modelos también producen la misma estimación de la matriz de covarianza marginal. Puede verificar esto al ejecutar estat wcorrelation después de cada modelo. Aunque ambos modelos son equivalentes, al incluir un efecto aleatorio en árboles, no podemos sólo explicar la dependencia de las observaciones dentro de los árboles, sino también estimar la variabilidad entre los árboles y predecir los efectos específicos del árbol después de la estimación.

Los dos modelos anteriores implican que las curvas de crecimiento para todos los árboles tienen la misma forma y solo se diferencian por un desplazamiento vertical que es igual a $u_j$. Esta puede ser una suposición demasiado fuerte en la práctica. Si miramos hacia atrás en el gráfico, notaremos que hay una variabilidad creciente en las circunferencias del tronco de los árboles a medida que se acercan a su altura límite. Por lo tanto, puede ser más razonable permitir que $\phi_1$ varíe entre árboles. Esto también dará a nuestros parámetros de interés una interpretación específica de árbol. Es decir, asumimos.

$$\mathsf{circumf}_{ij}=\frac{\phi_{1}}{1+\exp\left\{ -\left( \mathsf{age}_{ij}-\phi_{2}\right)/\phi_{3}\right\}} + \epsilon_{ij}$$

Con

$$\phi_1 = \phi_{1j} = \beta_1 + u_j$$

Se puede interpretar $\beta_1$ como la altura asintótica promedio y $u_j$ omo una desviación aleatoria del promedio que es especifico del $j$-ésimo árbol. El modelo anterior puede ajustarse de la siguiente manera:

      . menl circumf = ({b1}+{U1[tree]})/(1+exp(-(age-{phi2})/{phi3}))

      Obtaining starting values by EM:

      Alternating PNLS/LME algorithm:

      Iteration 1:    linearization log likelihood = -131.584579

      Computing standard errors:

      Mixed-effects ML nonlinear regression           Number of obs     =         35
      Group variable: tree                            Number of groups  =          5

      Obs per group:
      min =          7
      avg =        7.0
      max =          7
      Linearization log likelihood = -131.58458
      ------------------------------------------------------------------------------
      circumf |      Coef.   Std. Err.      z    P>|z|     [95% Conf. Interval]
      -------------+----------------------------------------------------------------
      /b1 |    191.049   16.15403    11.83   0.000     159.3877    222.7103
      /phi2 |    722.556   35.15082    20.56   0.000     653.6616    791.4503
      /phi3 |   344.1624   27.14739    12.68   0.000     290.9545    397.3703
      ------------------------------------------------------------------------------

      ------------------------------------------------------------------------------
      Random-effects Parameters  |   Estimate   Std. Err.     [95% Conf. Interval]
      -----------------------------+------------------------------------------------
      tree: Identity               |
      var(U1) |   991.1514   639.4636      279.8776    3510.038
      -----------------------------+------------------------------------------------
      var(Residual) |   61.56371   15.89568      37.11466    102.1184
      ------------------------------------------------------------------------------
    

Si se desea, también podemos modelar la estructura de covarianza del error intra árbol utilizando, por ejemplo, una estructura intercambiable:

      . menl circumf = ({b1}+{U1[tree]})/(1+exp(-(age-{phi2})/{phi3})),
      rescovariance(exchangeable)

      Obtaining starting values by EM:

      Alternating PNLS/LME algorithm:

      Iteration 1:    linearization log likelihood = -131.468559
      Iteration 2:    linearization log likelihood = -131.470388
      Iteration 3:    linearization log likelihood = -131.470791
      Iteration 4:    linearization log likelihood = -131.470813
      Iteration 5:    linearization log likelihood = -131.470813

      Computing standard errors:

      Mixed-effects ML nonlinear regression           Number of obs     =         35
      Group variable: tree                            Number of groups  =          5

      Obs per group:
      min =          7
      avg =        7.0
      max =          7
      Linearization log likelihood = -131.47081
      ------------------------------------------------------------------------------
      circumf |      Coef.   Std. Err.      z    P>|z|     [95% Conf. Interval]
      -------------+----------------------------------------------------------------
      /b1 |   191.2005   15.59015    12.26   0.000     160.6444    221.7566
      /phi2 |   721.5232   35.66132    20.23   0.000     651.6283    791.4182
      /phi3 |   344.3675   27.20839    12.66   0.000     291.0401     397.695
      ------------------------------------------------------------------------------

      ------------------------------------------------------------------------------
      Random-effects Parameters  |   Estimate   Std. Err.     [95% Conf. Interval]
      -----------------------------+------------------------------------------------
      tree: Identity               |
      var(U1) |   921.3895    582.735      266.7465    3182.641
      -----------------------------+------------------------------------------------
      Residual: Exchangeable       |
      var |   54.85736   14.16704      33.06817    91.00381
      cov |  -9.142893   2.378124     -13.80393   -4.481856
      ------------------------------------------------------------------------------
    

No especificamos la opción group() en el ejemplo pasado porque, en presencia de efectos aleatorios, rescovariance() automáticamente determina el grupo de nivel más bajo en función de los efectos aleatorios especificados.

Los modelos NLME hasta ahora son todos lineales en el efecto aleatorio. En los modelos NLME, los efectos aleatorios pueden ingresar al modelo de forma no lineal, al igual que los efectos fijos, y a menudo lo hacen. Por ejemplo, además de $\phi_1$, podemos permitir que otros parámetros varíen entre árboles y tener sus propios efectos aleatorios:

      . menl circumf = {phi1:}/(1+exp(-(age-{phi2:})/{phi3:})),
      define(phi1:{b1}+{U1[tree]})
      define(phi2:{b2}+{U2[tree]})
      define(phi3:{b3}+{U3[tree]})
      (output omitted)
    

El modelo anterior es muy complicado para nuestros datos que contienen sólo cinco árboles y se incluye únicamente con fines de demostración. Pero a partir de este ejemplo, se puede ver que la opción define() es útil cuando se tiene una expresión no lineal complicada, y se prefiere dividirla en partes más pequeñas. Los parámetros especificados dentro de define() también pueden predecirse para cada árbol después de la estimación. Por ejemplo, una vez que ajustamos nuestro modelo, podemos desear predecir la altura asintótica $\phi_{1j}$, para cada árbol $j$. A continuación, solicitamos construir una variable llamada phi1 que contenga los valores predichos para la expresión {phi1:}:

      . predict (phi1 = {phi1:})
      (output omitted)
    

Si tuviéramos más árboles, también podríamos haber especificado una estructura de covarianza para estos efectos aleatorios de la siguiente manera:

      . menl circumf = {phi1:}/(1+exp(-(age-{phi2:})/{phi3:})),
      define(phi1:{b1}+{U1[tree]})
      define(phi2:{b2}+{U2[tree]})
      define(phi3:{b3}+{U3[tree]})
      covariance(U1 U2 U3, unstructured)
      (output omitted)
    

Demostré solo algunos modelos en este artículo, pero menl cpuede hacer mucho más. Por ejemplo, menl cpuede incorporar niveles más altos de anidación, como modelos de tres niveles (por ejemplo, observaciones repetidas anidadas dentro de árboles y árboles anidados dentro de zonas de plantación). Vea [ME] menl para más ejemplos.

Referencias
- Draper, N., and H. Smith. 1998. Applied Regression Analysis. 3rd ed. New York: Wiley.
- Pinheiro, J. C., and D. M. Bates. 2000. Mixed-Effects Models in S and S-PLUS. New York: Springer.

Este blog es administrado por MultiON Consulting S.A. de C.V.

Estimación de parámetros de modelos DSGE

Introducción

Los modelos de equilibrio general dinámico estocástico (DSGE) se utilizan en la macroeconomía para modelar el comportamiento conjunto de series de tiempo agregadas, como la inflación, las tasas de interés y el desempleo. A través de esta metodología, se pueden analizar políticas y resolver preguntas como: “Cuál es el efecto de un alza repentina de las tasas de interés sobre el producto?” Para responder esta pregunta, necesitamos un modelo de la relación que hay entre las tasas de interés, la inflación y el producto. A diferencia de otros modelos de múltiples series de tiempo, los modelos DSGE están muy vinculados a la teoría económica. Las teorías macroeconómicas son sistemas de ecuaciones que se surgen de modelar las decisiones de los hogares, las empresas, los hacedores de política, y otros agentes. Estas ecuaciones son los componentes de un modelo DSGE y, puesto que el modelo DSGE surge de la teoría, sus parámetros tienen una interpretación directa en términos de dicha teoría.

En esta entrada, construiremos un pequeño modelo DSGE que es similar a los modelos que se utilizan para el análisis de política monetaria. Mostraremos cómo estimar los parámetros de este modelo utilizando el nuevo comando dsge de Stata 15. Después, aplicaremos un choque al modelo (una contracción de la política monetaria) y graficaremos la respuesta de las demás variables a este choque.

Un pequeño modelo DSGE

Los modelos DSGE comienzan con una descripción de los sectores de la economía que se van a modelar. El modelo que describiremos aquí está relacionado a los modelos que desarrollaron Clarida, Galí, y Gertler (1999) y Woodford (2003). Es una versión más pequeña de los modelos que se utilizan en la banca central y en la academia para hacer análisis de política monetaria. El modelo abarca a tres sectores: hogares, empresas y el banco central.

• Los hogares consumen el producto. Su toma de decisiones está resumida en una ecuación de demanda de producto que relaciona la demanda actual de producto a la demanda futura esperada y a la tasa de interés real.
• Las empresas determinan los precios y generan el producto para satisfacer la demanda a estos precios. Su toma de decisiones se resume en una ecuación de precios que relaciona la inflación actual (es decir, el cambio de los precios) a la inflación futura esperada y a la demanda actual. El parámetro que cuantifica la dependencia entre inflación y demanda tiene un papel clave en este modelo.
• El banco central responde a la inflación determinando la tasa de interés nominal. El banco aumenta la tasa de interés cuando la inflación sube y recorta la tasa cuando la inflación baja.

El modelo se puede resumir en tres ecuaciones,
$$\begin{align} x_t &= E_t(x_{t+1}) – \{r_t – E_t(\pi_{t+1}) – z_t\} \\ \pi_t &= \beta E_t(\pi_{t+1}) + \kappa x_t \\ r_t &= \frac{1}{\beta} \pi_t + u_t \end{align}$$

La variable $x_t$ es la brecha del producto. La brecha del producto mide la diferencia entre el producto y su nivel natural de largo plazo. La notación $E_t(x_{t+1})$ se refiere al valor esperado, dada la información disponible en el periodo $t$, de la brecha del producto en el periodo $t+1$. La tasa de interés nominal es $r_t$, y la tasa de inflación es $\pi_t$. La Ecuación 1 dice que la brecha del producto actual tiene una relación positiva con la brecha del producto esperada, $E_t(x_{t+1})$, y una relación inversa con la brecha de la tasa de interés, $\{r_t – E_t(\pi_{t+1}) – z_t\}$. La segunda ecuación es donde las empresas determinan sus precios; expresa la manera en que la inflación está relacionada con la inflación esperada y la brecha del producto. El parámetro $\kappa$ determina qué tanto depende la inflación de la brecha del producto. Por último, la tercera ecuación resume el comportamiento del banco central; relaciona la tasa de interés a la inflación y a otros factores, que en conjunto se denominan $u_t$.

Las variables endógenas $x_t$, $\pi_t$, y $r_t$ son determinadas por dos variables exógenas: $z_t$ y $u_t$. Según la teoría, $z_t$ es la tasa natural de interés. Si la tasa real de interés es igual a la tasa natural y se espera que mantenga ese nivel en el futuro, entonces la brecha del producto es cero. La variable exógena $u_t$ representa todos los movimientos de la tasa de interés ocasionados por factores que no son la inflación. A veces se denomina el componente sorpresa de la política monetaria.

Aquí modelaremos las dos variables exógenas como procesos autorregresivos de primer orden, 

$$\begin{align} z_{t+1} &= \rho_z z_t + \varepsilon_{t+1} \\ u_{t+1} &= \rho_u u_t + \xi_{t+1} \end{align}$$
tal como usualmente se hace.

En la jerga macroeconométrica, las variables endógenas se denominan variables de control, y las exógenas variables de estado. Cada periodo, los valores de las variables de control son determinados por el sistema de ecuaciones. Las variables de control pueden ser observables o no observables. Las variables de estado están fijas al comienzo de un periodo y son no observables. El sistema de ecuaciones determina el valor que tendrán las variables de estado el siguiente periodo.

Nos gustaría usar este modelo para responder preguntas de política. ¿Qué impacto tendrá sobre las variables del modelo si el banco central aumenta su tasa inesperadamente? Podemos responder esta pregunta aplicando un impulso $\xi_t$ y siguiendo su efecto a través del tiempo.

Antes de cualquier análisis de política, sin embargo, debemos asignar valores a los parámetros del modelo. Estimaremos los parámetros de nuestro modelo con el comando dsge de Stata, utilizando datos estadounidenses de inflación y tasas de interés.

Especificación del DSGE con dsge

En un modelo DSGE, podemos tener tantas variables observables de control como tengamos choques. En nuestro ejemplo, puesto que tenemos dos choques, tenemos dos variables observables de control. Las variables de un modelo DSGE linealizado son estacionarias y se miden en desviaciones del nivel de equilibrio. En la práctica, esto significa que los datos tienen que estar en desviaciones de la media antes de realizar la estimación. El comando dsge calculará estas desviaciones automáticamente.

Utilizaremos la base usmacro2, que se tomó de la Reserva Federal de St. Louis.

. webuse usmacro2

Para especificarle el modelo a Stata, sólo tenemos que ingresar las ecuaciones.

. dsge (x = E(F.x) - (r - E(F.p) - z), unobserved) ///
       (p = {beta}*E(F.p) + {kappa}*x)             ///
       (r = 1/{beta}*p + u)                        ///
       (F.z = {rhoz}*z, state)                     ///
       (F.u = {rhou}*u, state)

Las reglas de este comando son similares a las reglas que rigen a otros comandos de Stata con múltiples expresiones. Cada ecuación se ingresa entre paréntesis. Los parámetros se ingresan con corchetes para distinguirlos de las variables. Los valores esperados de variables futuras aparecen con el operador E(). Sólo una variable aparece del lado izquierdo de cada ecuación. Además, cada variable del modelo aparece del lado izquierdo en sólo una ecuación. Las variables pueden ser observables (variables que están en nuestra base de datos) o no observables. Dado que las variables de estado son fijas en el periodo actual, las ecuaciones de variables de estado nos dicen cómo el valor del periodo inmediato posterior depende del valor actual de las variables de estado y, quizá, del valor actual de las variables de control.

La estimación de los parámetros genera la siguiente tabla de resultados:

. dsge (x = E(F.x) - (r - E(F.p) - z), unobserved) ///
>      (p = {beta}*E(F.p) + {kappa}*x)             ///
>      (r = 1/{beta}*p + u)                        ///
>      (F.z = {rhoz}*z, state)                     ///
>      (F.u = {rhou}*u, state)
(setting technique to bfgs)
Iteration 0:   log likelihood = -13738.863
Iteration 1:   log likelihood = -1311.9615  (backed up)
Iteration 2:   log likelihood = -1024.7903  (backed up)
Iteration 3:   log likelihood = -869.19312  (backed up)
Iteration 4:   log likelihood = -841.79194  (backed up)
(switching technique to nr)
Iteration 5:   log likelihood =  -819.0268  (not concave)
Iteration 6:   log likelihood =  -782.4525  (not concave)
Iteration 7:   log likelihood = -764.07067
Iteration 8:   log likelihood = -757.85496
Iteration 9:   log likelihood = -754.02921
Iteration 10:  log likelihood = -753.58072
Iteration 11:  log likelihood = -753.57136
Iteration 12:  log likelihood = -753.57131

DSGE model

Sample: 1955q1 - 2015q4                         Number of obs     =        244
Log likelihood = -753.57131
------------------------------------------------------------------------------
             |                 OIM
             |      Coef.   Std. Err.      z    P>|z|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
/structural  |
        beta |    .514668    .078349     6.57   0.000     .3611067    .6682292
       kappa |   .1659046    .047407     3.50   0.000     .0729885    .2588207
        rhoz |   .9545256   .0186424    51.20   0.000     .9179872     .991064
        rhou |   .7005492   .0452603    15.48   0.000     .6118406    .7892578
-------------+----------------------------------------------------------------
      sd(e.z)|   .6211208   .1015081                      .4221685     .820073
      sd(e.u)|     2.3182   .3047433                      1.720914    2.915486
------------------------------------------------------------------------------

El parámetro crucial es {kappa}, que según nuestra estimación es positivo. Este parámetro refleja las fricciones de precios que subyacen a nuestro modelo. Su interpretación es que, manteniendo constante la inflación esperada, un aumento de 1 punto porcentual en la brecha del producto está relacionado a un aumento de 0.17 puntos porcentuales en la inflación.

El parámetro $\beta$ estimado es cercano a 0.5, lo cual significa que el coeficiente de la inflación en la ecuación de tasas de interés es más o menos 2. El banco central entonces aumenta la tasa de interés más o menos 2 puntos porcentuales por cada punto porcentual que aumente la inflación. Este parámetro es muy estudiado en la literatura de economía monetaria, y los estimados rondan 1.5. El valor que estimamos aquí es similar a esos estimados. Por último, nuestra estimación indica que ambas variables de estado $z_t$ y $u_t$ son persistentes, con parámetros autorregresivos de 0.95 y 0.7, respectivamente.

Impulsos–respuesta

Ahora podemos utilizar el modelo para responder preguntas de política. Una pregunta que podemos responder es, “¿Qué efecto tendría un movimiento inesperado de tasas sobre la inflación y la brecha del producto?” Un cambio inesperado en la tasa de interés se modela como un choque a la ecuación de $u_t$. En el lenguaje de nuestro modelo, este choque representa una contracción de la política monetaria.

Un impulso es una serie de valores para el choque $\xi$ de la Ecuación 5: $(1, 0, 0, 0, 0, \dots)$. El choque entonces se transmite a las variables de estado del modelo, generando un aumento de $u$. Después, el aumento de $u$ provoca un cambio en todas las variables de control del modelo. Las funciones de impulso–respuesta siguen el efecto que tiene el choque sobre las variables del modelo, tomando en cuenta todas las relaciones que existen entre las variables.

Ingresaremos tres comandos para obtener y graficar nuestra función de impulso–respuesta (IRF por sus siglas en inglés). El comando irf set define el archivo IRF que contendrá nuestros impulsos–respuesta. El comando irf create genera los impulsos–respuesta en el archivo IRF.

. irf set dsge_irf
. irf create model1

Una vez que nuestros impulsos–respuesta están guardados, podemos graficarlos:

. irf graph irf, impulse(u) response(x p r u) byopts(yrescale) yline(0)

En nuestras gráficas de impulsos–respuesta observamos la respuestas de las variables del modelo a un choque de una desviación estándar. Cada gráfica es la respuesta de una variable a un choque. El eje horizontal indica el tiempo que ha transcurrido desde el choque, mientras que el eje vertical mide las desviaciones del valor de largo plazo. La gráfica de la esquina inferior izquierda muestra la respuesta de la variable de estado monetaria, $u_t$. Las otras tres gráficas muestran las respuestas de la inflación, la tasa de interés y la brecha del producto. La inflación, en la esquina superior izquierda, observa una caída al momento del choque. La respuesta de la tasa de interés (arriba a la derecha) es una suma ponderada de las respuestas de la inflación y la variable de estado monetaria. La tasa de interés se eleva alrededor de un punto porcentual. Por último, la brecha del producto disminuye. Así, el modelo predice que la economía entra en recesión luego de que ocurre una contracción monetaria. Con el paso del tiempo, el efecto del choque se disipa, y todas las variables regresan a su valor de largo plazo.

Conclusión

En esta entrada, desarrollamos un pequeño modelo DSGE y mostramos cómo estimar sus parámetros utilizando el comando dsge. Luego mostramos cómo obtener e interpretar una función de impulso–respuesta.

Referencias
Clarida, R., J. Galí, y M. Gertler. 1999. The science of monetary policy: A new Keynesian perspective. Journal of Economic Literature 37: 1661–1707.
Woodford, M. 2003. Interest and Prices: Foundations of a Theory of Monetary Policy. Princeton, NJ: Princeton University Press.

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Regresión no paramétrica: como la regresión paramétrica... pero no

Enrique Pinzón, Econometra Senior - Stata Corp.

Intro

La regresión no paramétrica es similar a la regresión lineal, la regresión Poisson, y las regresiones Logit y Probit, en tanto que se está prediciendo la media de un proceso, dado un conjunto de regresores. Si has trabajado con los modelos paramétricos que acabamos de mencionar u otros modelos que predicen medias, entonces ya sabes cómo funciona la regresión no paramétrica y puedes también trabajar con esa herramienta.

La diferencia principal entre los modelos paramétricos y no paramétricos son los supuestos sobre la forma funcional de la media y los regresores. Los modelos paramétricos asumen que la media es una función conocida de xβ, mientras que la regresión no paramétrica no impone supuestos sobre la forma funcional.

En la práctica, esto significa que la regresión no paramétrica produce estimados consistentes de la función de media, que son robustos a la mala especificación funcional. Pero no hay por qué detenernos ahí. Con el comando npregress de Stata 15, podemos obtener estimados de cómo cambia la media conforme cambian los regresores —ya sean discretos o continuos— y podemos utilizar la opción margins para responder otras preguntas sobre la función de media.

A continuación ilustraremos cómo utilizar npregress y cómo interpretar sus resultados. Como verás, los resultados se interpretan igual que interpretaríamos los resultados de una regresión paramétrica con margins.

Ejemplo de regresión

Para ilustrar esto, simularemos una serie donde el modelo verdadero satisface los supuestos de la regresión lineal. Utilizaremos un regresor continuo y un regresor discreto. El regresando depende de los regresores de la siguiente manera:

donde x es el regresor continua y a es el regreor discreto, con valores 0, 1 y 2. Generaremos los datos con el siguiente bloque de código:

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